汉字的文化精神“p仅当q”和“p蕴藏q”有什么区别?

admin 2021-02-28 05:04 38

摘要:  书中有这句话:「记住”p仅当q“表达了如果p,则q同样的意思」,然后就在解释为何等价于”p蕴含q“。  国内初...

  书中有这句话:「记住 ”p仅当q“ 表达了 如果p,则q 同样的意思」,然后就在解释为何等价于 ”p 蕴含 q“。

  国内初级的逻辑学教材(包括上面拍照的离散数学书上的逻辑部分),基本上是限制在「经典主义逻辑」框架下,包括一阶命题逻辑与一阶谓词逻辑,这点非常重要,但是基本没有教材会讨论过这个限制,我认为是过于片面而且非常不合适的。

  在经典主义逻辑框架中,有些定理是反直觉的。还包括「蕴含」这个词,在经典主义逻辑框架下,被称为「实质蕴含」,就是说,这句话「不应该」被解释成自然语言中的”如果 p, 则 q“,而是应该解释成”如果 p 为真,那么 q 也为线; 可以完全不相干。实质蕴含最让初学者糊涂的地方是,如果 p 为假时,居然必然为真。不要小看这点区别,这会引起很多的「反直觉」结论:

  这个在经典主义框架下是永真的,这个可以被误读成:世界上的所有东西都是相互关联的。

  这个在经典主义框架下也是永真的,解释下试试看,如果一个蕴含式能蕴含它的前件,那么它的前件 p 就为真。请用「如果……,那么……」解释下试试看?

  「如果一个酒吧里面存在一个饮酒者,”那么“ 酒吧里面所有的人都在饮酒。」这句话是不是很荒唐?我们之所以认为荒唐,正是因为我们把蕴含符号「错误解读」成为了”如果……,那么……“。

  在经典主义框架下,等价于,可以解读为「要么条件 p 为假,要么结论 q 为真」,实际上也还是在解释「实质蕴含」。

  但另一方面,如果熟悉了经典逻辑,慢慢你会觉得「实质蕴含」其实也不难理解,这时候大脑就能够比较熟练地切换各种推理模式。大逻辑学家罗素就认为「实质蕴含」非常自然,很本质。

  经典主义逻辑看似比较好入门,因为一阶命题经典逻辑能很好地对应到「真值表」,于是很多人不由自主地过度依赖真值表来理解命题,而忽略了「推理」。这一点也让很多人混淆「语言」和「元语言」的关联和区别,我在另一篇回复中提到了这个问题。

  其实「直觉主义逻辑」才是更符合直觉的逻辑,但是由于其涉及了排中律,反证法的一些讨论,并且其语义模型不是真值表,入门门槛也比较高。但是直觉主义逻辑的推理过程是非常容易理解的,比如表示 p 蕴含 q(我用符号表示直觉主义逻辑中的蕴含符号,以区分),可以理解成,”如果给一个 p 命题的证明,那么输出一个 q 命题的证明“。那么如果 p 不为真呢?在直觉主义逻辑框架中,虽然 ”p“ 不真,但是仍然不能通过这个陈述来得到 p 命题的构造性证明,那么仍然不能得到 q 命题的证明。这里的蕴含式更贴近我们自然语言中的「如果……,那么……」。

  直觉主义依赖构造性,一个命题不再对应于真假,而是对应于它的构造性证明。表示 「p不存在构造性证明」,但是这并不意味着 p 为假,也有可能 p 只是「不可证」。那么反证法就在直觉主义逻辑框架中就不再成立了。反证法符合直觉么?不好说……

  ---------- 如果想学习真正的逻辑,请忘记这门课(仅限逻辑部分)所教的内容

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